0728学习笔记

数学-微分学习题

错题必刷榜

设函数$f(x)$连续，给出下列条件

(A) $\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{|f(x)|-f(0)}{x}}$存在

(B) $\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{f(x)-|f(0)|}{x}}$存在

(C) $\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{|f(x)|}{x}}$存在

(D) $\lim\limits_{x\to 0}{\dfrac{|f(x)|-|f(0)|}{x}}$存在

其中能得到"$f(x)$在$x=0$处可导"的条件为

(C)$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{|f(x)|}{x}=0\Rightarrow\forall \epsilon>0,\left|\dfrac{|f(x)|}{x}-0\right|<\epsilon\Rightarrow\lim\limits_{x\to0}\left|\dfrac{f(x)}{x}\right|=0\Rightarrow f’(0)=0$

(A)$f(0)=\lim\limits_{x\to0}{|f(x)|}\geq0\Rightarrow$if $f(0)=0$,the same as (C);else if $f(0)>0$，保号性使得$\exists \delta>0,f(x)>0,x\in(-\delta,\delta)$

(B)$f(0)=\lim\limits_{x\to0}{f(x)}=|f(0)|\geq0\Rightarrow$if $f(0)=0$,显然成立;else if $f(0)>0$，也显然成立。

(D)if $f(0)=0$,the same as (C);else 保号性使得两个绝对值内部同号

故四个全符合。

一些重要的泰勒展开式

$$ \begin{align*} \text{e}^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\[1ex] \sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[1ex] \cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[1ex] \ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (|x| < 1) \\[1ex] \frac{1}{1 - x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1) \\[1ex] \frac{1}{1 + x} &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \quad (|x| < 1) \\[1ex] \arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \quad (|x| \leq 1) \end{align*} $$

常用高阶导数

$$ \begin{align*} \left(e^{ax+b}\right)^{(n)}&=a^ne^{ax+b}\\ [\sin{(ax+b)}]^{(n)}&=a^n\sin{\left(ax+b+\dfrac{n\pi}{2}\right)}\\ [\cos{(ax+b)}]^{(n)}&=a^n\cos{\left(ax+b+\dfrac{n\pi}{2}\right)}\\ [\ln(ax+b)]^{(n)}&=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^{n}}\\ (\frac{1}{ax+b})^{(n)}&=(-1)^na^n\frac{n!}{(ax+b)^{n+1}} \end{align*} $$