数学-拐点和极值点
二级结论
-
曲线的可导点不可同时为极值点和拐点；曲线的不可导点可同时为极值点和拐点
-
设多项式$f(x)={(x-a)}^ng(x)(x>1)$,且$g(a)\neq0$则当n为偶数时，$x=a$ 是$f(x)$的极值点；当n为奇数时，点$(a,0)$是曲线f(x)的拐点
-
设多项式函数$f(x)=(x-a_1)^{n_1}(x-a_2)^{n_2}\cdots(x-a_k)^{n_k}$其中$n_i$是正整数，$a_i$是实数且两两不等，则f(x)的极值为
$$ k_1+2k_2+k_3-1 $$拐点个数为
$$ k_1+2k_2+3k_3-2 $$其中$k_1$为$n_i=1$的个数，k_2为$n_i$为偶数的个数，$k_3$为$n_i$为奇数的个数
数学-曲率证明
数学证明过程
曲率$\kappa$被定义为
$$ \kappa = \left| \frac{d\theta}{ds} \right| $$同时
$$ \begin{align*} \tan \theta &= \frac{dy}{dx} = f'(x)\\ \theta &= \arctan{ f'(x)}\\ d\theta &= \frac{f''(x)}{1+{(f'(x))}^2}dx \end{align*} $$弧长微分
$$ ds = \sqrt{1+{(f'(x))}^2}dx $$于是
$$ \kappa = \left| \dfrac{\dfrac{d\theta}{dx}}{\dfrac{ds}{dx}} \right|= \frac{f''(x)}{\left(1+{(f'(x))}^2\right)^{\frac{3}{2}}} $$物理证明视角–参数方程
给定某个质点沿xy轴方向的位移$\mathbf{x}(x,x)$参数方程
$$ \begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \omega(t)\\ \end{cases} $$给定某个质点沿xy轴方向的速度$\mathbf{v}(v_x,v_y)$参数方程
$$ \begin{cases} v_x = \varphi'(t)\\ v_y = \omega'(t)\\ \end{cases} $$那么加速度$\mathbf{a}=(a_x,a_y)$
$$ \begin{cases} a_x = \varphi''(t)\\ a_y = \omega''(t)\\ \end{cases} $$根据曲率半径的计算公式
$$ r = \left|\frac{\mathbf{v}^2}{\mathbf{a}_{\perp}}\right| $$又由于
$$ |\mathbf{a}_{\perp}| = |\mathbf{a}\sin \theta|=\frac{|\mathbf{a\times v}|}{|\mathbf{v}|} $$因此
$$ \begin{align*} \kappa &= \frac{1}{r} = \left|\frac{\mathbf{a}_{\perp}}{\mathbf{v}^2}\right|\\ &= \frac{|\mathbf{a\times v}|}{|\mathbf{v}|^3}\\ &= \frac{|\varphi''(t)\omega'(t)-\varphi'(t)\omega''(t)|}{\left(\varphi'(t)^2+\omega'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}} \end{align*} $$