数学-一些不等式
分析中常用的不等式
1. 伯努利不等式 (Bernoulli’s Inequality)
对于任意实数 $x > -1$ 和整数 $n \ge 1$，有：
$$ (1+x)^n \ge 1+nx $$当且仅当 $n=1$或 $x=0$ 时等号成立。
对于实数
$$x \ge -1$$和实数 $\alpha \ge 1$，有更广义的形式：
$$ (1+x)^\alpha \ge 1+\alpha x $$2. 均值不等式 (Mean Inequalities)
对于一组非负实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$，有以下关系：
$$ \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \le \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \le \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}} $$这可以简记为：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。
3. 琴生不等式 (Jensen’s Inequality)
如果 $f(x)$ 是一个凸函数，$\lambda_i \ge 0$ 且 $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i = 1$，则对于任意点 $x_1, x_2, \dots, x_n$，有：
$$ f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) $$对于凹函数，不等号方向相反。琴生不等式在概率论和信息论中也有重要应用。
4. 绝对值不等式 (Triangle Inequality)
对于任意实数或复数 $a$ 和 $b$，或者对于向量 $a$ 和 $b$，有：
$$ |a+b| \le |a| + |b| $$其推广形式为：
$$ \left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \le \sum_{i=1}^n |x_i| $$代数与几何中的不等式
1. 柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)
对于任意两组实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, \dots, b_n$，有：
$$ \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) $$在向量空间中，它可以表示为：
$$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 \le \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \|\mathbf{u}\|^2 \cdot \|\mathbf{v}\|^2 $$2. 赫尔德不等式 (Hölder’s Inequality)
设 $p, q$为正实数，满足
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。对于两组实数或复数 $x_1, \dots, x_n$和 $y_1, \dots, y_n$，有：
$$ \sum_{i=1}^n |x_i y_i| \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\right)^{1/q} $$柯西-施瓦茨不等式是赫尔德不等式在 $p=q=2$ 时的特例。
3. 闵可夫斯基不等式 (Minkowski Inequality)
对于任意实数 $p \ge 1$ 和两组实数或复数 $x_1, \dots, x_n$ 和 $y_1, \dots, y_n$，有：
$$ \left(\sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{i=1}^n |y_i|^p\right)^{1/p} $$这个不等式是向量空间中范数的三角不等式的推广。
4. 排序不等式 (Rearrangement Inequality)
设有两组实数 $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ 和 $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$。令 $(c_1, c_2, \dots, c_n)$ 是 $(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 的任意一个排列，则有：
$$ \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i+1} \le \sum_{i=1}^n a_i c_i \le \sum_{i=1}^n a_i b_i $$即“反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和”。
微积分中的不等式
1. 杨氏不等式 (Young’s Inequality)
设 $a, b$ 为非负实数，$p, q$ 为正实数且满足
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$，则：
$$ ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $$2. 切比雪夫总和不等式 (Chebyshev’s Sum Inequality)
设有两组单调序列 $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$ 和 $b_1 \le b_2 \le \dots \le b_n$，则有：
$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i b_i \ge \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i\right) \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n b_i\right) $$如果一个序列单调递增，另一个单调递减，则不等号方向相反。