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0727学习日志

数学-一元函数微分学

一元函数微分学的概念

  1. 导数

    $$ f'(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

  2. 导数的几何意义

    $$ \begin{align*} \text{切线方程：}y-y_0&=f'(x_0)(x-x_0) \\ \text{法线方程：}y-y_0&=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),(f'(x_0)\neq0) \end{align*} $$

  3. 高阶导数

    $$ f^{(n)}(x_0) = \lim\limits_{\Delta x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} $$

  4. 微分概念

    设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义，且$x_0+\Delta x$在该邻域内，对于函数增量

    $$ \Delta y = f(x_0+\Delta x)- f(x_0) $$

    若存在与$\Delta x$无关的常数$A$，使得

    $$ \Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) $$

    则称$f(x)$在$x=x_0$处可微，且$A\Delta x$为线性主部也叫做$f(x) $在点$x_0$处的微分，记为

$$ \left.dy\right|_{x=x_0}A\Delta x = f'(x_0)\mathbf{d}x $$

一元函数微分学的计算

  1. 基本求导公式

    $$ \begin{align*} \left(x^{\alpha}\right)' &= \alpha x^{\alpha-1}\\ \left(a^x\right)' &= a^x\ln{a},(a>0,a\neq 1)\\ \left(e^x\right)' &=e^x\\ \left(\log_ax\right)' &=\frac{1}{x\ln a},(a>0,a\neq 1)\\ \left(\ln|x|\right)' &=\frac{1}{x}\\ \left(\sin x \right)' &=\cos x \\ \left(\cos x\right)' &=-\sin x \\ \left(\arcsin x\right)' &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \left(\arccos x\right)' &=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \left(\tan x\right)' &=\sec^2 x\\ \left(\cot x \right)' &=-\csc^2 x\\ \left(\arctan x\right)' &=\frac{1}{1+x^2}\\ \left(\text{arccot} x\right)' &=-\frac{1}{1+x^2}\\ \left(\sec x\right)' &=\sec x\tan x\\ \left(\csc x\right)' &=-\csc x \cot x\\ \left(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\right)' &=\frac{1}{x^2+1}\\ \left(\ln(x+\sqrt{x^2-1})\right)' &=\frac{1}{x^2-1}\\ \end{align*} $$

  2. 四则运算

    1. 和差
    2. 积
    3. 商

  3. 复合函数的导数与微分形式的不变性

    $$ \mathbf{d}f(u)=f'(u)\mathbf{d}u $$

  4. 分段函数的导数

    1. 在分段点使用导数的定义
    2. 在非分段点使用导数公式

  5. 反函数的导数

    设$y=f(x)$单调、可导函数，且$f’(x)\neq 0$,则存在反函数$x=\varphi(y)$，且$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

    $$ \varphi'(x) =\dfrac{1}{ \dfrac{\mathbf{d} arc\varphi(\varphi(x)) }{\mathbf{d}\varphi(x)}} $$

  6. 隐函数求导法

  7. 参数方程所确定的函数的导数

    $$ \begin{align} \begin{cases} x&= \varphi(t)\\ y&= \omega(t)\\ \end{cases}\\ \frac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \dfrac{\omega'(t)}{\varphi'(t)} \end{align} $$

  8. 对数求导法

    $$ \begin{align*} \ln y &= \ln f(x)\\ y' &= \frac{yf'(x)}{f(x)}\\ \end{align*} $$

  9. 幂指数求导法

    $$ u(x)^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)} $$

  10. 高阶导数

    1. 归纳法

    2. 莱布尼茨公式

      $$ \begin{align*} (u\pm v)^{(n)}&= u^{(n)}\pm v^{(n)}\\ (u v)^{(n)}&= \sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{(k)}v^{(n-k)} \end{align*} $$

    3. 泰勒展开式，利用展开唯一性

课程编号：第三、四讲

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