数学-太好了是中值定理我们有救了

中值定理

1. 有界与最值定理：

   若函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上取得最大值和最小值。

   即存在 $x_{\min}, x_{\max} \in [a, b]$ 使得：

   $$ f(x_{\min}) \le f(x) \le f(x_{\max}),\quad \forall x \in [a,b] $$

2. 界值定理

   设 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，若 $f(a) < 0 < f(b)$，则存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = 0$。

3. 平均值定理

4. 零点定理

5. 费马定理：

   若函数 $f$ 在 $x_0$ 点可导，且在该点取得极值（极大或极小），则：

   $$ f'(x_0) = 0 $$
   • (引理)导数零点定理

6. 罗尔定理

   设 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，且：

   $$ f(a) = f(b) $$

   则存在 $c \in (a, b)$ 使得：

   $$ f'(c) = 0 $$

7. 拉格朗日中值定理

   设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 上可导，则存在 $c \in (a,b)$，使得：

   $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

8. 柯西中值定理

   设函数 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 可导，且 $g’(x) \ne 0$ 于 $(a,b)$，则存在 $c \in (a,b)$，使得：

   $$ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$

9. 泰勒公式

   若 $f \in C^{n+1}[a,b]$，则对 $x \in [a,b]$，存在 $\xi$ 介于 $a$ 与 $x$ 之间，使得：

   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $$