数学-概率论

多维随机变量及其分布

1. n维随机变量及其分布函数

   1. n维随机变量的概念
   2. n维随机变量的分布函数的概念和性质
      1. 概念
      2. 性质
         1. 单调性
         2. 右连续性
         3. 有界性
         4. 非负性
      3. 边缘分布函数

2. 常见的两类二维随机变量–离散型随机变量与连续型随机变量

   1. 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布

      1. 概率分布

         $$ p_y = P\{X=x_i,Y=y_i\},i,j = 1,2,... $$

      2. 联合分布函数、边缘分布、条件分布

         1. 联合分布函数

            $$ F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\} = \sum\limits_{x_i\leq x}\sum\limits_{y_i\leq y}p_{ij} $$

         2. 边缘分布

            $$ p_{i\cdot} = P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}(i=1,2,...) $$$$ p_{\cdot j} = P\{Y=y_i\}=\sum_{i=1}^{\infty}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_{ij}(i=1,2,...) $$

         3. 条件分布

            $$ P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} $$$$ P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }} $$

   2. 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件概率密度

      1. 概率密度

         1. 概念

            $$ F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}dv\int_{-\infty}^{x}f(u,v)du,(x,y)\in\mathbf{R}^2 $$

         2. 二元函数$f(x,y)$是概率密度的充分必要条件为

            $$ f(x,y)\geq 0,\int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = 1 $$

      2. 联合分布函数与概率密度、边缘概率密度、条件概率密度

         1. 联合分布函数与概率密度

            1. $F(x,y)$为$(x,y)$的二元连续函数，且

               $$ F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} = \int_{-\infty}^{y}dv\int_{-\infty}^{x}f(u,v)du $$

            2. 设G为平面上某个区域，则

               $$ P\{(x,y)\in G\} = \iint\limits_{G}f(x,y)dxdy $$

            3. 若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，则$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}$

            4. 若$F(x,y)$连续且可导，则$(X,Y)$是连续型随机变量，且$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}$是它的概率密度

         2. 边缘概率密度

         3. 条件概率密度

            $$ f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$

      3. 常见的二维分布

         1. 二维均匀分布

         2. 二维正态分布

            1. 若$(X_1,X_2)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$,则

               $$ X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) $$

            2. 若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$,且$X_1,X_2$相互独立，则

               $$ (X_1,X_2)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;0) $$

            3. $(X_1,X_2)\sim N\Rightarrow k_1X_1+ k_2X_2 \sim N(k_1 , k_2\text{不全为零})$

3. 随机变量的相互独立性

   1. 概念

      1. 设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x),F_Y(y)$，如果对任意的实数$x,y$,都有

         $$ F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) $$

         则称$X$与$Y$相互独立，否则不相互独立

      2. 如果$n$维随机变量$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的分布函数等于边缘分布函数的乘积，即

         $$ F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n) $$

         则称$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立

   2. 相互独立的充要条件

   3. 相互独立的性质

   4. $X$与$Y$不独立的判断与证明